あなたが最初にした
"SELECT id, url, name FROM links WHERE group='' ORDER BY array ASC"
次に、$idを使用します やるべきこと
"SELECT url, name FROM links WHERE group='$id' ORDER BY array ASC"
その結果をどのように得るでしょうか？ groupが空の文字列と等しい場合、$idと等しくなりません。 （$idの場合のみ 空の文字列でもありますが、それは意味がありません。）