前回のログイン時間を更新する方法がわからないようです

ここでのクエリ：

UPDATE users_table SET 'date_last_inlog' = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

date_last_inlogの前後の引用符を削除してみてください またはそれらをバックティックに変更します：

UPDATE users_table SET date_last_inlog = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

また、mysql_*は使用しないでください 関数、mysqliを使用 またはPDO 代わりは。コードはSQLインジェクションに対して脆弱です。