整合性制約違反：1062キー「PRIMARY」のエントリ「1」が重複しています

自動インクリメントフィールドを使用してテーブルに挿入する場合、自動インクリメントフィールド自体はまったく指定しないでください。

Query("INSERT INTO prod_categorie (categorieID, parentID) VALUES (?, ?)", array($chkParent, $txtParentCategorie));
                                   ^^^^^^^^^^^                    ^             ^^^^^^^^^^

ただ

Query("INSERT INTO prod_categorie (parentID) VALUES (?)", array($txtParentCategorie));

コメントディスカッションからの回答として追加され、質問を受け入れて終了できるようになりました。