SQLテーブルのレコードをコピーして、新しい行の一意のIDを交換するにはどうすればよいですか？

これを試してください：

insert into MyTable(field1, field2, id_backup)
    select field1, field2, uniqueId from MyTable where uniqueId = @Id;

指定されていないフィールドは、デフォルト値（定義されていない場合は通常NULL）を受け取る必要があります。