SQL CLRトリガーはこれを実行できますか？それとももっと良い方法がありますか？

おそらく、後処理を挿入から切り離す必要があります：

挿入トリガーで、レコードのPKをキューテーブルに追加します。

別のサービスで、キューテーブルから読み取り、複雑な操作を実行します。終了したら、レコードを処理済みとしてマークするか（エラー/ステータス情報とともに）、キューからレコードを削除します。