djangodb接続でPostgreSQLVERBOSITYをオンにする方法は？

これを試してください

# settings.py
DATABASES = {
    'default': {
        'ENGINE': '...',
        'OPTIONS': {
            'init_command': "SET log_error_verbosity TO 'verbose'",
        },
    }
}

テストクエリ

SELECT setting FROM pg_settings WHERE name = 'log_error_verbosity'