この地理距離SQLクエリをPostgresと互換性を持たせるにはどうすればよいですか？

クエリはMySqlに固有の構文を使用します。 Postgres（および私が知っている他のすべてのRDBMS）では、派生テーブルを使用する必要があります：

select *
from (
    select *, 
        (3959 * acos( cos( radians(53.49) ) * cos( radians( places.lat ) ) 
        * cos( radians( places.lng ) - radians(-2.38) ) 
        + sin( radians(53.49) ) * sin( radians( places.lat ) ) ) ) AS distance 
    from (
        select *
        from places
        where places.lat between 53.475527714192 and 53.504472285808
        and places.lng between -2.4043246788967 and -2.3556753211033
        ) as places 
    where places.deleted_at is null 
    ) sub
where distance <= $1 
order by distance asc

数値定数から引用符も削除しました。