カンマ区切りの値を持つ文字列を含む列値に対して検索クエリを実行するにはどうすればよいですか？

あなたはこのようなことをすることができます。

select name from zone_table where 
string_to_array(replace(tags,' ',''),',')@>
string_to_array(replace('down, 110.22.100.3',' ',''),',');

1）replace

2）string_to_array 文字列をカンマで区切られた配列に変換します。

3）@> はcontains オペレーター

（または）

全体として一致させたい場合

select name from zone_table where POSITION('down, 110.22.100.3' in tags)!=0

個別の試合については、次のことができます

select name from zone_table where POSITION('down' in tags)!=0 and 
POSITION('110.22.100.3' in tags)!=0

位置の詳細こちら