プロセスのOutputStreamを開いて、入力したかのようにサーバーによって読み取られるパスフレーズを渡すことができます。パスフレーズはSTDINからのものです。
final Process startServer = Runtime.getRuntime().exec("PostgreQL -D data/dir/ start");
PrintStream ps = new PrintStream(startServer.getOutputStream());
ps.println(passPhrase);