マングースの配列内で$pushを使用する

あなたが目指しているのは有効な構造ではありません。代わりに必要になる可能性が高いのは、NetworkListが存在するスキーマです。 ユーザーの友達のObjectIdの配列が直接含まれています：

var NetworkSchema = new Schema({
    UserID: {
        type: String,
        default: '',
        trim: true
    },
    NetworkList: [{
        type: Schema.ObjectId,
        ref: 'User'
    }]
});

ドキュメントは次のようになります：

{
    "_id" : ObjectId("548adbc8b7eac44013bf188d"),
    "NetworkList" : [ 
        ObjectId("5486fab40bc27314276be8cf") 
    ],
    "UserID" : "547eaaab6c39471c3f5aebb6",
    "__v" : 0
}

次に、NetworkListに新しい友達を追加できます $pushを使用する このような演算子：

exports.update = function(req, res) {
    var query={'UserID': req.body.UserID};
    var update = {$push: {'NetworkList': req.body.FriendID}};

    Network.findOneAndUpdate(query, update, function(err, doc){ ... });
};