sidekiqがredisサーバーに接続されているかどうかを確認するにはどうすればよいですか？

Sidekiqが提供するRedis情報を使用できます：

redis_info = Sidekiq.redis { |conn| conn.info }
redis_info['connected_clients'] # => "16"

SidekiqのSinatraステータスアプリから取得しました。