データはNullです。このメソッドまたはプロパティは、null値では呼び出すことができません。（コンボボックスを使用）

1つ以上のフィールドにNULL（DBNull.Value）が含まれている場合、GetStringを使用することはできません。
IsDBNullメソッドを使用してそれらがnullであるかどうかを確認し、代わりにテキストボックスに入力する値を選択する必要があります。通常は空の文字列です

private void comboBox1_SelectedIndexChanged(object sender, EventArgs e)
{
    string constring = "datasource=localhost;port=3306;username=root;password=root";
    string Query = "SELECT * from database.check WHERE patientname IS NOT NULL";
    using(MySqlConnection conDataBase = new MySqlConnection(constring))
    using(MySqlCommand cmdDataBase = new MySqlCommand(Query, conDataBase))
    {
        try
        {
            conDataBase.Open();
            using(MySqlDataReader myReader = cmdDataBase.ExecuteReader())
            {
                int namePos = myReader.GetOrdinal("namethestore");
                int checkerPos = myReader.GetOrdinal("checkername");
                while (myReader.Read())
                {
                    string namethestore = myReader.IsDBNull(namePos) 
                                          ? string.Empty 
                                          : myReader.GetString("namethestore");
                    string checkername = myReader.IsDBNull(checkerPos) 
                                          ? string.Empty
                                          : myReader.GetString("checkername");
                    this.textBox65.Text = namethestore;
                    this.textBox66.Text = checkername;
                }
           }
      }
}

使用ステートメント も使用することをお勧めします。 使い捨てのオブジェクトの周り。これにより、例外が発生した場合でも、不要になったときに適切に閉じて破棄することができます.....