これはすでに解決されていると思いますが、同様の問題を抱えている人向けです。
複数の左結合を試して、すべてのデータを取得することもできます
SELECT *, IF (users.type = 1, p.name, c.name) AS name FROM users
LEFT JOIN private AS p ON (users.type = 1 AND users.id = p.user_id)
LEFT JOIN company AS c ON (users.type != 1 AND users.id = c.user_id)