Mysqlは各グループの最後の行を選択します

まず、列名は文字列リテラルではないため、一重引用符でエスケープしないでください。
次に、c_idごとに最新の時刻を個別に取得するサブクエリを実行できます。 元のテーブルと結合して、他の列を取得します。

SELECT  a.*
FROM    message a
        INNER JOIN
        (
            SELECT  c_id, MAX(time) time
            FROM    message
            GROUP   BY c_id
        ) b ON a.c_id = b.c_id AND
                a.time = b.time

または

SELECT  a.*
FROM    message a
WHERE   a.time =
        (
            SELECT  MAX(time) time
            FROM    message b
            WHERE   a.c_id = b.c_id
        )