2つの異なるフィールドでのMySQL検索クエリ

where句でconcat式を言い換える必要があります。

 SELECT CONCAT(first_name, ' ', last_name) as fullname 
      FROM users 
     WHERE CONCAT(first_name, ' ', last_name) LIKE '%doe%';

残念ながら、「as」は、他の場所で使用できる変数ではなく、列エイリアスを作成するだけです。