PDO更新ステートメントを記述する正しい方法

はい、それは正しいですが、エラー時にエラーを発生させるようにPDOに指示する必要があります。
したがって、接続コードは次のようにします。

$dsn = "mysql:host=$host;dbname=$db;charset=utf8";
$opt = array(
    PDO::ATTR_ERRMODE            => PDO::ERRMODE_EXCEPTION,
    PDO::ATTR_DEFAULT_FETCH_MODE => PDO::FETCH_ASSOC
);
$pdo = new PDO($dsn, $user, $pass, $opt);

そして、PHPエラーが表示されることを確認してください。だから、あなたは何が悪いのかを知るでしょう。