単一のSQLクエリを介して同じデータベーステーブル内の共通レコードを取得するにはどうすればよいですか？

これは、必要なものを引き出すためのraw-sqlの方法だと思います：

select * from articles_users where article_id in (select articles.id from articles inner join articles_users on articles_users.article_id = articles.id where user_id = 1) and user_id = 2;

RailsでユーザーIDを置き換えることができる場所：

ArticlesUser.find_by_sql(["select * from articles_users where article_id in (select articles.id from articles inner join articles_users on articles_users.article_id = articles.id where user_id = ?) and user_id = ?", @user1.id, @user2.id])

または複数のIDの場合::

ArticlesUser.find_by_sql(["select * from articles_users where article_id in (select articles.id from articles inner join articles_users on articles_users.article_id = articles.id where user_id = ?) and user_id IN (?)", @user1.id, [@user2.id,@user3.id]])

したがって、サンプルデータから（他の質問から）：

mysql> select * from articles_users;
+----+---------+------------+
| id | user_id | article_id |
+----+---------+------------+
|  1 |       1 |          1 |
|  2 |       1 |          2 |
|  3 |       1 |          3 |
|  4 |       2 |          1 |
|  5 |       2 |          2 |
|  6 |       3 |          1 |
|  7 |       3 |          3 |
|  8 |       4 |          4 |
+----+---------+------------+
8 rows in set (0.00 sec)

したがって、値が返されます：

mysql> select * from articles_users where article_id in (select articles.id from articles inner join articles_users on articles_users.article_id = articles.id where user_id = 1) and user_id = 2;
+----+---------+------------+
| id | user_id | article_id |
+----+---------+------------+
|  4 |       2 |          1 |
|  5 |       2 |          2 |
+----+---------+------------+
2 rows in set (0.00 sec)

mysql> select * from articles_users where article_id in (select articles.id from articles inner join articles_users on articles_users.article_id = articles.id where user_id = 1) and user_id = 3;
+----+---------+------------+
| id | user_id | article_id |
+----+---------+------------+
|  6 |       3 |          1 |
|  7 |       3 |          3 |
+----+---------+------------+
2 rows in set (0.00 sec)

または複数のユーザーIDの場合：

mysql> select * from articles_users where article_id in (select articles.id from articles inner join articles_users on articles_users.article_id = articles.id where user_id = 1) and user_id in (2,3);
+----+---------+------------+
| id | user_id | article_id |
+----+---------+------------+
|  4 |       2 |          1 |
|  5 |       2 |          2 |
|  6 |       3 |          1 |
|  7 |       3 |          3 |
+----+---------+------------+
4 rows in set (0.00 sec)

あなたはSQLの方法を求めてきましたが、これを行うにはほぼ確実に手ごわい方法があります...しかし、これで始められるはずです。ここからリファクタリングできます。