文字データがphpからjqueryに渡されていません

PHPのクエリに単純な構文エラーがあります。次のように書き直してください。

$query = mysql_query("SELECT staff_name FROM subject WHERE course_name = '".$_POST['sub']."'");

数値以外のデータを渡す場合は常に、'myData'などの単一引用符を使用してください。 値を囲みます。