現在のクエリでは、日付文字列の前後に引用符がないため、そのままでは機能しません。
ただし、質問に答えるには、有効な日付文字列をYYYY-MM-DD形式で渡すだけで、クエリが機能します。
$date = $_POST['date'];
// Put date validation code here. I.e. make sure it is in YYYY-MM-DD
// format, etc. Might as well escape it, too since you aren't using
// prepared statements.
$sql2 = "SELECT * FROM venue_booking WHERE date_booked = '".$date."' AND venue_id =".$id;
また、クエリでのユーザー提供データの使用がより安全になるため、プリペアドステートメントの使用に切り替える必要があることにも言及する必要があります。
おそらく役立つ