四半期から期間までのMySQLグループ

これはギャップと島の問題です。ウィンドウ関数で解決できます（MySQL 8.0でのみ使用可能）：

select 
    person,
    min(act_date) start_date,
    max(act_date) end_date
from (
    select
        t.*,
        sum(act_date <> lag_act_date + interval 15 minute)
            over(partition by person order by act_date) grp
    from (
        select 
            t.*,
            lag(act_date) 
                over(partition by person order by act_date) lag_act_date
        from mytable t
    ) t
) t
group by person, grp
order by min(act_date)

累積合計を使用して隣接するレコードのグループを構築するという考え方です。15分ではないギャップがあるたびに、合計が増加します。