日付の違いを取得するためのMYSQLクエリ

このようなサブクエリを試してください

SELECT 
    DATEDIFF(
      (
      SELECT MIN(date)
      FROM Transaction
      WHERE trans_type='Sell'
      ) AS first_sell_date
   ,
      (
      SELECT MIN(date)
      FROM Transaction
      WHERE trans_type='Buy'
      ) AS first_buy_date
   )

編集：OPコメントに従い、完全なクエリで質問を更新します。

DATEDIFFをMINコールにラップするだけではいけませんか？

DATEDIFF(
    MIN(case when t.trans_type ='Sell' then transaction_date end),
    MIN(case when t.trans_type ='Buy' then transaction_date end)
) as Date