PHPを使用したMysqlへの動的入力エラー

まだ全体像は見えません。 $_POST["mytext"]によって返される実際の値は何ですか ？

ただし、少なくともループを次のように変更する必要があると思います。

foreach($_POST["mytext"] as $key => $text_field){
      if ($all_names == '') {
          $all_names .=  "( '".mysql_real_escape_string($text_field) ."') ";
      } else {
          $all_names .=  ",( '".mysql_real_escape_string($text_field) ."') ";
      }
 }

とあなたのクエリ：

 $sql = "INSERT INTO student ( name ) VALUES $all_names ";