MySQLはすべての親を再帰的に検索します

アイデアをあげましょう。指定されたIDからparent_idを何度も取得する関数を作成し、それを生成と呼びましょう。 Cat10世代1は親であり、CAT5世代2はCAT3などです。

DROP FUNCTION IF EXISTS getNameIdGeneration;
DELIMITER $$
CREATE FUNCTION getNameIdGeneration(idPar int, generationPar int)
  RETURNS VARCHAR(1000) READS SQL DATA
BEGIN
  DECLARE auxLoopVar INT default 0;
  DECLARE parentIdVar INT default idPar;  
  DECLARE nameVar VARCHAR(1000) default NULL;

  count_loop: LOOP    
    SELECT parent_id INTO parentIdVar FROM Category_parent WHERE Category_id = parentIdVar;
    SET auxLoopVar = auxLoopVar + 1;        
    IF auxLoopVar >= generationPar THEN
      LEAVE count_loop;
    END IF;    
  END LOOP;
  SELECT name INTO nameVar FROM Category WHERE id = parentIdVar;

  RETURN nameVar;
END;
$$
DELIMITER ;

与えられた関数をテストする場合、CAT10のCategory_Id=10と仮定します

select getNameIdGeneration(10, 2);

CAT3

必要なのは、系統を知りたいCATのIDを含むテーブルだけです

MariaDB [mydatabase]> select * from test;
+-------------+------------+
| category_id | generation |
+-------------+------------+
|          10 |          1 |
|          10 |          2 |
|          10 |          3 |
+-------------+------------+

MariaDB [mydatabase]> select generation, getNameIdGeneration(category_id, generation) as Name from test;
+------------+------+
| generation | Name |
+------------+------+
|          1 | CAT5 |
|          2 | CAT3 |
|          3 | CAT1 |
+------------+------+
3 rows in set (0.00 sec)