PHPでMySQL行を更新するにはどうすればよいですか？

まず、もう少し安全にする必要があります：

mysql_query(sprintf("UPDATE offtopic SET next = '%s' WHERE id = '%s'",
            mysql_real_escape_string($insert),
            mysql_real_escape_string($id));

さて、あなたのid 実際には文字列であり、数値ではありませんか？数値の場合は、次のようにする必要があります。

mysql_query(sprintf("UPDATE offtopic SET next = '%s' WHERE id = %d",
            mysql_real_escape_string($insert), $id);