mysql_fetch_array（）は、パラメーター1がリソースであり、文字列が指定されていることを想定しています。

$queryを渡しています これはSQL文字列です 、$resultを渡す必要がある場合 これはdb結果オブジェクトです。

class DBQueries extends DBConn {
    function displayUsers(){
        $this->dbConnection();
        $query = "SELECT * FROM users";
        $result = mysql_query($query);
        while ($row = mysql_fetch_array($result)) {
            echo $row['password'];
        }
    }
}