警告：mysql_num_rows（）は、パラメーター1がリソースであると想定しています。ブール値が指定されています

これは、mysql_queryがブールfalse（クエリエラー）を返すことがあるためです。確認する必要があります：

$amn = mysql_query("SELECT * FROM `Messages` WHERE to_user='$usr' AND read='0'");

if($amn === false) {
    var_dump(mysql_error());
}
else {
    print_r(mysql_num_rows($amn));
}

上記のコードは不適切なスタイルで記述されており、廃止されています。実際のプロジェクトでは例外付きのPDOを使用してください。