エラー:複数のデータベースで挿入ステートメントのスカラー変数を宣言する必要があります

変数 @address は、定義されているバッチ内にのみ存在し、バッチはスコープ外になる go ステートメントで区切られます。

これを試してください:

declare @address varchar(50)
set @address = 'Hope'

insert into DB1.dbo.Address
 values (@address)

insert into DB2.dbo.Address
 values (@address)
go