DocumentDB出力バインディングは、DocumentDB APIを使用して接続し、データベースに情報を保存します。しかし、あなたのデータベースは（あなたが言っていることから）MongoDB APIを使用しており、それらは異なるAPIです（リンクはドキュメントを指しています）。
ご存知のとおり、MongoDBには、MongoDBクライアント（SDKまたはサードパーティクライアント）からデータベースに接続するときにカバーされるいくつかの要件（「_id」属性の存在など）がありますが、通信しているためです。 DocumentDB APIを介して、これらの要件を満たしていない可能性があります。
関数でMongoドライバーを使用して、MongoDBAPIを介してCosmosDBデータベースに接続することをお勧めします。