ユーザーのmysqlサーバーにリモートアクセス許可を付与するにはどうすればよいですか？

これにより、*.example.com内の任意のマシンから同じパスワードでルートアクセスが許可されます ：

GRANT ALL PRIVILEGES ON *.* TO 'root'@'%.example.com' 
    IDENTIFIED BY 'some_characters' 
    WITH GRANT OPTION;
FLUSH PRIVILEGES;

名前解決が機能しない場合は、IPまたはサブネットによるアクセスを許可することもできます：

GRANT ALL PRIVILEGES ON *.* TO 'root'@'192.168.1.%'
    IDENTIFIED BY 'some_characters'  
    WITH GRANT OPTION;
FLUSH PRIVILEGES;

MySQL GRANT 構文ドキュメント。