JDBCドライバーが正しくインストールされているかどうか、およびDBが接続できるかどうかをテストするにはどうすればよいですか？

Class#forName()かどうかを確認してください JDBCドライバーではClassNotFoundExceptionはスローされません。

try {
    Class.forName(driverClassName);
    // Success.
}
catch (ClassNotFoundException e) {
    // Fail.
}

DriverManager#getConnection()かどうかを確認してくださいまたはDataSource#getConnection() SQLExceptionをスローしません。

try (Connection connection = DriverManager.getConnection(url, username, password)) {
    // Success.
}
catch (SQLException e) {
    // Fail.
}