RDSインスタンスには静的IPアドレスが付加されていないため、常にホストのエンドポイントを使用します。例：
database1.jlsdfjhgsdf.us-east-1.rds.amazonaws.com
ルートデータベースアカウント以外のユーザー名でインスタンスに接続している場合は、ユーザー権限を付与する必要があります。
セキュリティグループの設定を確認してください。 Amazonの別のEC2インスタンスから接続している場合は、そのセキュリティグループをアタッチする必要があります。 AWSの外部から接続しようとしている場合は、アクセス元のIPアドレスをホワイトリストに登録する必要があります。