MinGWディストリビューションにはcrtdbg.hがないのではないかと思います。 Windowsでは、このヘッダーはMicrosoftのコンパイラに付属していると思います。 WindowsでのMySqlのコンパイルはCygwinまたはMicrosoftのコンパイラ（MinGWはサポートされていません）でのみ可能であるため、Micrsoftのコンパイラの代わりにCygwinを使用することもできると思います。したがって、理論的にはCygwinはプログラムをコンパイルできるはずです。
Windows SDKをインストールすることで、Microsoftのコンパイラを無料で入手することもできます。
mysqlclient.libは静的ライブラリである必要があり、libmysql.lib/libmysql.dllは動的ライブラリです。
注： マイクロソフトのコンパイラで静的ライブラリを使用する場合は、プログラムと同じコンパイラ（および同じバージョン）でコンパイルする必要があります。 Windowsでのコンパイルの詳細については、こちら> 。最後のセクションMicrosoftWindowsでのMySQLクライアントのコンパイルをご覧ください。
更新 ：Microsoftのコンパイラを使用すると、次のコマンドを使用してコードをコンパイルできます：
cl mysource.c /IC:\Path\To\MySql\Include\Directory /link /LIBPATH:C:\Path\To\MySql\Lib\Directory /DEFAULTLIB:libmysql