すでに存在するレコードチェックのロジックですが、フォーム値が更新された場合のみ

編集部分：
古い名前と新しい名前を比較するのではなく、編集したレコードのIDを比較してみてください。

$sql = "SELECT county_id FROM counties WHERE country='$country' AND county_name='$county_name' AND country_id !='$id' LIMIT 1";