文書化されているようにMySQLINSERTが正しく機能する

これを試してください：

mysql_query("
  INSERT INTO
    m_select
    (id, id_m, hello, bye)
   SELECT
     '$U' AS id,
     '$$t_id' AS id_m,
     hello,
     bye
   FROM test1 WHERE id='$test_id'
");

$$t_idの2ドル記号かどうかはわかりません （$t_idではなく ）意図的かどうかはわかりませんが、少なくともあなたに気づかせたいと思いました。