文字列内の引用符を処理するパラメータ化された値を使用するようにコードを更新してみることができます:
$query = "INSERT INTO People(name) VALUES(@name)"
$command = $connection.CreateCommand()
$command.CommandText = $query
$command.Parameters.Add("@name", $name) -- | Out-Null (may be required on the end)
$command.ExecuteNonQuery()
私はPowerShellの経験はありませんが、この投稿を参照してパラメータ化されたクエリ :