テーブルを変更して UNIQUE キーを追加するとエラーが発生する

ドキュメント を参照してください テーブル制約の追加方法については、

ALTER TABLE Animal ADD CONSTRAINT UQ_Animal_AnimalTypeId UNIQUE (AnimalType_id)
  

 AnimalType_id は外部キーのように聞こえるので、この列を一意にすることで 1 対 1 の関係になることを理解しているか確認したかっただけです。各タイプの動物は 1 匹しか持てません。
 

 一意の制約を追加するとエラーが発生するため、実際には一意の制約ではなく外部キーが必要になることをお勧めします:
 
ALTER TABLE Animal
    ADD CONSTRAINT FK_Animal_AnimalType
    FOREIGN KEY
    (
        AnimalType_id
    )
    REFERENCES AnimalType
    (
        id
    )
  

 AnimalType テーブル名とその主キー列の名前を推測する必要がありました。間違っている場合は変更してください。