データベースをgit（バージョン管理）下に置くにはどうすればよいですか？

データベースダンプを取得し、代わりにバージョン管理します。このように、フラットテキストファイルです。

個人的には、データダンプとスキーマダンプの両方を保持することをお勧めします。このようにdiffを使用すると、リビジョンごとにスキーマで何が変更されたかを簡単に確認できます。

大きな変更を行う場合は、新しいスキーマを変更するセカンダリデータベースが必要であり、ブランチを作成していると言ったので、古いデータベースには触れないでください。