MongoDBの日付は、java.util.Dateと連携して機能します。クエリを次のように変更します:
Date start = new java.util.Date(2012, 06, 20, 10, 05);
Date end = new java.util.Date(2012, 06, 20, 10, 30);
BasicDBObject query = new BasicDBObject("Date",
new BasicDBObject("$gt", start)).
append("$lte", end) ));