jqueryでチェックボックスをオンにしながらデータベースを更新するにはどうすればよいですか？

あなたはほとんどそれを持っています。チェックボックスの状態を読み取り、POSTリクエストとともに返送する必要があります。

$(function(){
    $("#myonoffswitch").click(function(){
        var isOn = $("#myonoffswitch").prop("checked");
        $.post("notification.php", { 'onoffswitch': isOn }, function (result) {
            //handle success here
        });
    });