PHP SQLはSELECTCOUNT（user）を変数に取得します

mysql_resultを使用して、結果の最初の列を取得する必要があります。このように：

$result = mysql_query("SELECT COUNT(user) FROM game_paths WHERE user='$user'");
$count = mysql_result($result, 0);

次のように列のエイリアスを作成することもできます：

$result = mysql_query("SELECT COUNT(user) AS total FROM game_paths WHERE user='$user'");
$data = mysql_fetch_assoc($result);
$count = $data['total'];

同時に複数の列を選択する場合、および読みやすさのために、どちらが良いかもしれません。